Бранко Цвејић је рођен је у Београду 25. августа 1946. Матурирао је у Петој београдској гимназији 1965. и исте године уписао глуму на Факултету драмских уметности у Београду.
Највише је сарађивао са редитељем Дејаном Мијачем, као глумац, а касније и као продуцент бројних представа. Гостовао је и на другим позоришним сценама, између осталог и у Звездара театру – позоришту у чијем је оснивању и сам учествовао.
Играо је у више од 40 целовечерњих играних филмова и остварио низ значајних улога у ТВ серијама, филмовима и драмама.
„Бранко Цвејић припада генерацији српских и југословенских позоришних, филмских и телевизијских глумаца која је, крајем шездесетих година прошлог века, освојила, потпуно преузела и радикално изменила изглед овдашњег глумишта, направивши довршен стилски преокрет којим је најављени дах модерности из претходне деценије коначно постао доминантним сценским изразом у складу са духом епохе и кретањима у сценским уметностима у свету.
Допринос Бранка Цвејића овој глумачкој револуцији кулминирао је у телевизијској серији, као и каснијем филмском наставку, „Грлом у јагоде“, аутора Срђана Карановића, у којој је овај стилски преврат, најављен бројним ранијим улогама у Југословенском драмском позоришту и Атељеу 212, као и на филму и телевизији, „озваничен“ и устоличен. Ова улога учинила је Бранка Цвејића једним од водећих драмских уметника своје генерације и ондашње Југославије“, саопштило је Југословенско драмско позориште.